Muitas fórmulas e expressões da Física podem ser expressas matematicamente na forma de equações diferenciais. As equações diferenciais ordinárias são aquelas que dependem de uma única variável.
Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que contém uma ou várias derivadas de uma função desconhecida que normalmente denominamos por y(x) (ou algumas vezes por y(t) se a variável independente é o tempo t). A equação pode conter o próprio y, funções conhecidas de x (ou de t) e constantes. Por exemplo:
São EDOs. Aqui como no Cálculo, y' denota dy/dx,
, etc. O termo ordinária serve para distinguir do termo equações diferenciais parciais (EDP), que envolve derivadas parciais de uma função desconhecida de duas ou mais variáveis. Por exemplo, uma EDP com uma função desconhecida u de duas variáveis x e y:
As EDP têm aplicações importantes na Engenharia, contudo são mais complicadas que as EDO.
Uma EDO é dita de ordem n se a e-nésima derivada da função desconhecida y é a mais alta derivada de y na equação. O conceito de ordem fornece uma classificação útil dentro das EDOs de primeira ordem, segunda ordem, terceira ordem, etc. Assim, (1) é de 1a ordem, (2) de 2a ordem e (3) de 3a ordem.
Por enquanto consideraremos as EDOs de primeira ordem. Tais equações contém somente a primeira derivada y' e podem conter y e qualquer função de x que seja dada. Portanto, podemos escrevê-las como:
ou mais frequentemente na forma:
essa é a chamada forma explícita, em contraste com a forma implícita (4). Por exemplo:
a forma implícita: x3y' + 4y2 = 0 (onde x ≠ 0) pode ser escrita explicitamente como y ' = - 4y2/x3.
Km2
EDO
São EDOs. Aqui como no Cálculo, y' denota dy/dx,
As EDP têm aplicações importantes na Engenharia, contudo são mais complicadas que as EDO.
Uma EDO é dita de ordem n se a e-nésima derivada da função desconhecida y é a mais alta derivada de y na equação. O conceito de ordem fornece uma classificação útil dentro das EDOs de primeira ordem, segunda ordem, terceira ordem, etc. Assim, (1) é de 1a ordem, (2) de 2a ordem e (3) de 3a ordem.
Por enquanto consideraremos as EDOs de primeira ordem. Tais equações contém somente a primeira derivada y' e podem conter y e qualquer função de x que seja dada. Portanto, podemos escrevê-las como:
(4) F(x, y, y') = 0
y' = f(x,y)
a forma implícita: x3y' + 4y2 = 0 (onde x ≠ 0) pode ser escrita explicitamente como y ' = - 4y2/x3.
CONCEITO DE SOLUÇÃO
Uma função
h = f(x)
é chamada de solução de uma dada EDO (4), em algum intervalo aberto a < x < b se h(x) for definida e diferenciável nesse intervalo e tal que a equação torne-se uma identidade se y e y ' forem substituídos por h e h ' , respectivamente. A curva (o gráfico) de h é então chamada de curva solução. Aqui, intervalo aberto a < x < b significa que as extremidades a e b não são considerados como pontos pertencentes ao intervalo. Também, a < x < b inclui intervalos infinitos - ∞ < x < b, a < x < ∞ , - ∞ < x < ∞ , (a reta real) como casos especiais.
EXEMPLO 1 Verificação da solução.
Verifique se y = c / x ( c é uma constante arbitrária) é solução da EDO x y ' = - y para todo x ≠ 0.
Diferenciando y = c / x para obter
EXEMPLO 1 Verificação da solução.
Verifique se y = c / x ( c é uma constante arbitrária) é solução da EDO x y ' = - y para todo x ≠ 0.
Diferenciando y = c / x para obter
Km2
EDO
